Penjumlahan Sistem Bilangan

1. PENJUMLAHAN BILANGAN BINER

Ada 4 kondisi dalam penjumlahan bilangan biner

(0+0, 1+0, 0+1, 1+1)

dimana

0 + 0 = 0
1 + 0 = 1
0 + 1 = 1
1 + 1 = 0 (carry out 1)

Maksut dari Carry out, hasilnya tidak bisa memuat lebih dari 1 digit. Tetapi disimpan kedalam kolom sebelah yang lebih tingginilainya.

Contoh pada bilangan desimal

2 + 7 = 9 (CaryOut = 0)

15 + 8 = 23 (CaryOut = 1)

Yang dimaksud Carry Out adalah penyimpanan angka, lihat contoh diatas. 2+7=9 CarryOut = 0 karena tidak ada bilangan yang disimpan. 15+8=3 sisa 1, 1-nya digantung diatas , lalu 1+1=2, jadi hasilnya 23. 1 yang digantung diatas itulah yang disebut CarryOut.

Contoh pada bilangan biner.

2. PENGURANGAN BILANGAN BINER

kondisi yang muncul pada pengurangan bilangan biner

(0-0, 1-0, 0-1, 1-1)
 

dimana 

0 - 0 = 0
0 - 1 = 1 borrow 1 (jika masih ada angka di sebelah kiri)
1 - 0 = 1
1 - 1 = 0

maksut dari borrow di sini ialah peminjaman satu digit angka dari  kolom sebelah yang memiliki nilai lebih besar agar hasil pengurangan mencukupi

contoh pada bilangan desimal

37 - 32 = 5 (borrow 0)

23 - 17 = 6 (3 borrow 1 dari angka 2) 

pada perhitungan pertama tidak ada proses meminjam (borrow) angka yang lebih besar karena hasil pengurangan di digit belakang sudah mencukupi untuk dikurangkan dengan bilangan pengurangnya ,sementara pada perhitungan ke-2 ada proses peminjaman karena 3 tidak mencukupi dikurangkan dengan 7.

Contoh pada bilangan biner.

Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Octal

Octal adalah bilangan berbasis delapan yang terdiri dari delapan angka yaitu 0,1,2,3,4,5,6,7. Karena hanya memiliki delapan angka maka penjumlahan 7+1 = 10 (bukan 8 seperti halnya bilangan Decimal karena tidak mempunyai angka 8).

Ketika kita melakukan pengurangan secara berurutan (dimulai dari digit sebelah kanan) pada bilangan Decimal misalnya 25-7,  akan terjadi borrow(pinjam 1 dari angka 2) karena 5 lebih kecil dari 7 sehingga angka 5 kini menjadi 15 yaitu dari 5+10 karena nilai 1 pada bilangan Decimal adalah 10, demikian juga pada penjumlahan bilangan Decimal dimana carry 1 bernilai 10.

Jika borrow 1 terjadi pada pengurangan bilangan Octal, maka angka 1 bernilai 8, demikian juga jika terjadi carry 1 pada penjumlahan Octal akan bernilai 8.

A. PENJUMLAHAN BILANGAN OCTAL

Jumlahkan secara berurutan mulai dari digit sebelah kanan. Untuk dua bilangan yang dijumlahkan, jika hasil penjumlahan lebih dari 7 maka akan terjadi carry 1 yang akan ikut dijumlahkan dengan digit di sebelah kirinya, kemudian hasil penjumlahan dikurangi 8 yang akan disimpan sebagai hasil penjumlahan Octal. Perhatikan contoh di bawah!

a. 100(8) + 200 (8) = ..........(8)

Langkah-langkah penyelesaian:

100
200 
----- (+)

Jumlahkan secara berurutan mulai dari digit paling kanan.
0 + 0 = 0
0 + 0 = 0
1 + 2 = 3

Jadi 100(8) + 200(8) = 300(8)


b. 4467(8) + 7265(8) = ...........(8)

Langkah-langkah penyelesaian:

4467
7265
------(+)

1. 7 + 5 = 12, karena lebih dari 7 maka terjadi carry 1 dan hasil penjumlahanOctal adalah 4 (dari 12 - 8 = 4)
2. 1 + 6 + 6 = 13, karena lebih dari 7 maka terjadi carry 1 dan hasil penjumlahan Octal adalah 5 (dari 13 - 8 = 4)
3. 1 + 4 + 2 = 7, angka ini akan langsung ditempatkan sebagai hasil penjumlahan Octal karena tidak lebih dari 7 (tidak ada carry).
4. 4 + 7 = 11, karena lebih dari 7 maka terjadi carry 1 dan hasil penjumlahanOctal adalah 3 dari (11 - 8 = 3)
5. 1 = carry dari penjumlahan terakhir yang akan langsung ditempatkan sebagai hasil penjumlahan Octal

Hasil akhir adalah yang berwarna merah, jadi 4467(8) + 7265(8) = 13754(8)


A. PENGURANGAN BILANGAN OCTAL 

Lakukan pengurangan secara berurutan mulai dari digit sebelah kanan. Jika bilangan yang dikurangi lebih besar, maha hasilnya akan langsung ditempatkan sebagai hasil pengurangan Octal, tetapi jika bilangan yang dikurangi lebih kecil, maka akan terjadi borrow (pinjam) 1 dari digit di sebelah kirinya. Pada bilangan Decimal, angka satu yang dipinjam bernilai 10 sedangkan pada bilangan Octal angka 1 ini bernilai 8.  Perhatikan contoh di bawah!

a. 7654(8) - 4321(8) = ..........(8)

Langkah-langkah penyelesainan:

7654
4321
----- (-)

4 - 1 = 3
5 - 2 = 3
6 - 3 = 3
7 - 4 = 3

Jadi 7654(8) - 4321(8) = 3333(8)


b. 5432(8) - 1456(8) = ..........(8)

Langkah-lengkah penyelesaian

1. 2 - 6 = 4, karena 2 lebih kecil dari 6 maka terjadi borrow 1 sehingga menjadi 10 (dari 8+2) dan 10-6 = 4
2. 2 - 5 = 5, angka 3 menjadi 2 karena sudah dipinjam sebelumnya. 5 adalah hasil dari (8+2)-5 
3. 3 - 4 = 7,  angka 4 menjadi 3 karena sudah dipinjam sebelumnya. 7 adalah hasil dari (8+3)-4
4. 4 - 1 = 3, angka 5 menjadi 4 karena sudah dipinjam sebelumnya. Karena 4 lebih besar dari 3 maka 3 akan langsung ditempatkan sebagai hasil pengurangan Octal.

Hasil akhir adalah yang berwarna merah, jadi 5432(8) - 1456(8) = 3754(8)

Untuk membuktikan kebenaran dari hasil penjumlahan dan pengurangan bilangan Octal dapat dilakukan konversi bilangan terlebih dahulu ke bilanganDecimal.

Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Hexadecimal

Hexadecimal adalah bilangan berbasis enam belas yang terdiri dari angka 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E, dan F. Teknik penjumlahan dan pengurangan bilangan Hexadecimal hampir sama dengan penjumlahan dan pengurangan bilangan Biner, Octal, dan Decimal, hanya saja jika terjadi carry 1 atau borrow1, maka angka 1 tersebut bernilai 16.

Carry terjadi apabila hasil penjumlahan lebih dari 15 misalnya 8+8 = 10 ( 0 carry1), sedangkan borrow terjadi jika angka yang dikurangi lebih kecil dari pengurang misalnya 45-6, karena 5 lebih kecil dari 6 maka terjadi borrow 1 (pinjam 1 dari angka 4) sehingga menjadi 21 yaitu 5+16 (karena 1 bernilai 16). Lebih jelasnya dapat dilihat pada contoh-contoh di bawah.

A. PENJUMLAHAN HEXADECIMAL
Jumlahkan secara berurutan mulai dari digit paling kanan. Untuk dua bilangan yang dijumlahkan, jika hasil penjumlahan lebih dari 15 akan terjadi carry 1, kemudian hasil penjumlahan dikurangi 16 yang akan disimpan sebagai hasil penjumlahan Hexadecimal. Perhatikan contoh di bawah!

a. 153(16) + 234(16) = .......... (16)

Langkah-langkah penyelesaian:
153
234
---- (+)

1. 3 + 4 = 7 
2. 5 + 3 = 8
3. 1 + 2 = 3

Karena tidak terdapat carry, maka 153(16) + 234(16) = 387(16)


b. 1A7(16) + D89(16) = .......... (16)

Langkah-langkah penyelesaian:
1A7
D89
---- (+)

1. 7 + 9 = 16, karena lebih dari 15, maka terjadi carry 1 dan hasil penjumlahan adalah 0 yaitu dari 16-16.
2. 1 + A + 8, angka 1 adalah carry dari penjumlahan sebelumnya. A=10 pada bilangan Decimal, jadi 1 + A + 8 = 1 + 10 + 8 = 19, hasil penjumlahan adalah 3 yatiu dari 19-16 dan carry 1.
3. 1 + 5 + D = 1 + 1 + 13 = 15, hasil penjumlahan adalah F karena 15 = F pada bilanagan Hexadecimal.

Hasil penjumlahan adalah yang berwarna merah, jadi 1A7(16) + D89(16) = F30(16)


B. PENGURANGAN BILANGAN HEXADECIMAL

Lakukan pengurangan secara berurutan mulai dari digit paling kanan. Jika bilangan yang dikurangi lebih kecil dari pengurang, maka akan terjadi borrow1 (pinjam 1 ke bilangan di sebelah kirinya). Borrow 1 ini bernilai 16. Perhatikan contoh di bawah!

a. FBC(16) - 321(16) = ..........(16)

Langkah-langkah penyelesaian:
FBC
3 2 1
----- (-)

1. C - 1 = 12 -1 = 11, hasil pengurangan adalah B
2. B - 2 = 11 - 2 = 9,  hasil pengurangan adalah 9
3. F - 3 = 15 - 3 = 12, hasil pengurangan adalah C

Hasil penjumlahan Hexadecimal adalah yang berwarna merah, jadi FBC(16) - 321(16) = C9B(16)


b. F30(16) - D89(16) = .......... (16)

Langkah-langkah penyelesaian:
F30
D89
----- (-)

1. 0 - 9, karena 0 lebih kecil dari 9, maka terjadi borrow 1 yang bernilai 16 sehingga angka 0 kini menjadi 16 yaitu dari 0 + 16. Hasil penguranganHexadecimal adalah 16 - 9 = 7.
2. 2 - 8, karena sebelumnya terjadi borrow 1, maka angka 3 dikurangi 1 menjadi 2. Karena 2 lebih kecil dari 8, maka terjadi borrow lagi pada bilangan F sehingga angka 2 menjadi 18 yaitu dari 2 + 16. Hasil pengurangan Hexadecimal adalah 18 - 8 = 10 atau A.
3. E - D = 14 - 13 = 1, E adalah dari F yang telah dikurangi 1 karena terjasi borrow sebelumnya.

Hasil pengurangan Hexadecimal adalah yang berwarna merah, jadi F30(16) - D89(16) = 1A7(16)

Untuk membuktikan kebenaran dari hasil penjumlahan dan penguranganHexadecimal, dapat dilakukan konversi bilangan terlebih dahulu ke bilanganDecimal.